Name:
Skisprungschanzen
Die Bahnen der
Anlaufspuren und die Form der Aufsprunghügel lassen sich
mit Hilfe
mathematischer Funktionen beschreiben und analysieren.
Sie werden
in der Klausur nur den Aufsprunghügel diskutieren
| Achtung:
Keine Angst vor "krummen“ Werten |
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Aufgabe
1)
Der Aufsprunghügel einer Großschanze lässt sich
in erster
(relativ grober) Näherung durch eine einzige Funktion beschreiben.
h(x) =
D = [ 0 , 150 ]
a) Bestimmen sie die mittlere Steigung zwischen dem Beginn des Aufsprunghügels
und der "Risikostelle“ bei x = 100 !
b) Die größte Steigung hat der Aufsprunghügel etwa bei
x = 70, bestimmen sie
die Steigung an dieser Stelle ! Um welche Stelle im mathematischen Sinn
handelt es sich ?
c) Skizzieren sie grob den Verlauf der Ableitungsfunktion (graphisches
Ableiten von h)
d) Welche Höhendifferenz Çy hat der Aufsprunghügel im
Bereich zwischen x = 70 m und
x = 80m? Lösen sie exakt und mit Hilfe einer geeigneten Abschätzung
(Ableitung!)
e) Geben sie die innere und die äußere Funktion von h an und
diskutieren sie
die Aufgabe d) schrittweise für die innere und die äußere
Funktion.(nur Abschätzung!).
f) Interpretiereren sie ihr Ergebniss aus e) und d) im Hinblick auf eine
wichtige Regel!
g) Die Funktion h lässt sich etwas komplizierter auch als
h(x) =
schreiben.
Leiten sie die Funktion mit Hilfe der Quotientenregel ab.
Vergleichen sie mit der Ableitungsfunktion wie sie sie in b) bestimmt haben!
Können sie die Ergebnisse durch Termumformung zur Deckung bringen?
Aufgabe 2)
Siehe auch Anlageblatt "Skisprunganlage“
Wesentlich exakter
und dem ursprünglichen Vorgehen der Konstrukteure der Schanze näher,
ist es den
Aufsprunghügel aus zwei Funktionen "zusammen zu bauen“.
Hierbei wird
der obere Teil (zwischen Schanzentisch und Risikopunkt bei x = 100)
als Funktion
dritten Grades entworfen, der untere Teil (der Bereich zwischen dem
Risikopunkt
und dem Auslauf) als Kreisbogenstück.
Funktionsvorschrift
des Kreisbogenstücks: (bezüglich des vorgegebenen Koordinatensystems)
k(x) =
D = [100 ; 150]
a) Bestimmen sie die Steigung an der Risikostelle x = 100 ( Resultat: m
= -0,7) .
Für die weiteren Aufgaben verwenden sie diesen gerundeten Wert!)
b) Ermitteln sie die Funktion dritten Grades f so, dass sie den Vorgaben
auf
dem Anlagenblatt entspricht und sie die Funktion k
am R -Punkt gleichmäßig fortsetzt.
Empfehlenswert ist die Nutzung des vorgegebenen Koordinatensystems!
( Resultat: f(x) =
)
c) Am Landepunkt L ist die Steigung des Aufsprunghügels maximal,
bestimmen sie seine Koordinaten.
d) Der K-Punkt (bei x = 87,5) gibt so etwas wie die Normweite der Schanze
an.
Die Schanzenrekorde liegen meist im Bereich des R-Punktes.
Man misst die Sprungweite als (geradlinige) Entfernung zwischen der Oberkante
des Schanzentisches der Aufsprungstelle.
Ermitteln sie die Sprungweite zum L, K, und R- Punkt.
e) Welche Höhe hätte der Aufsprunghügel, wenn man ihn statt
in Bogenform,
tangential zur Kurve am L Punkt fortsetzen würde?
(Tangente zur Funktion f am Punkt L)
f) Ist der Betrag der Steigung geringer als 0,5 ist die Landung lebensgefährlich.
In welchen Bereichen des Aufsprunghügels ist das der Fall?
